(geen titel)

Een school heeft 1000 leerlingen, elk met een eigen genummerd kastje. Op de eerste dag van het nieuwe schooljaar heeft de conciërge alle kastjes schoongemaakt en dichtgedaan. Vervolgens komen alle leerlingen één voor één binnen.
Nummer 1 doet alle kastjes weer open.
Nummer 2 verandert alle kastjes met een even nummer (die doet hij dus dicht).
Nummer 3 verandert alle kastjes met als nummer een drievoud. (de dichte doet hij open, de open weer dicht).
Nummer 4 verandert alle kastjes met als nummer een viervoud.
enz. enz. enz.
Welke kastjes zijn na afloop open?



Antwoord:

Wanneer verandert een leerling een kastje? Als het nummer van het kastje een veelvoud van zijn eigen nummer is.
Door wie wordt een kastje dus veranderd? Door de leerlingen waarvan het nummer een deler is van het kastjesnummer
(kastje 24 zal veranderd worden door de leerlingen 1,2,3,4,6,8,12 en 24 want dat zijn de delers van 24)

Wanneer staat een kastje na afloop open? Als het een oneven aantal keer veranderd is.
Dus als het nummer van het kastje een oneven aantal delers heeft.
De vraag is daarmee geworden:

Welke getallen hebben een oneven aantal delers?

Nou hebben de meeste getallen een even aantal delers, omdat de delers twee aan twee bij elkaar horen.

2 is een deler van 24, want 24 = 2 ´ 12, maar daarom is 12 ook een deler.
Omdat 3 een deler is, is ook 8 een deler.

Het lijkt er op alsof elke deler van een getal automatisch een tweede deler produceert, en alsof dus alle getallen een even aantal delers hebben.
Dat is echter niet zo want als de tweede deler gelijk is aan de eerste, dan levert dat geen nieuwe tweede deler op.
36 heeft als delers 1,2,3,4,6,9,12,18 en 36. Je ziet dat ze twee aan twee bij elkaar horen. Alleen de 6 heeft geen partner. 6 hoort bij zichzelf. Dat komt omdat 36 precies gelijk is aan 6 ´ 6.